KAYNAK DERSLER: ÜÇGEN

Bir doğru üzerinde olmayan (doğrusal olmayan) A,B,C gibi üç noktanın birleşiminden oluşan kapalı şekle ÜÇGEN denir.

Bir üçgen noktalar kümesidir ve içinde bulunduğu düzlemi üç ayrı noktalar kümesine ayırır. Bunlar;

a)Üçgenin İçinde Kalan Noktalar Kümesi

b)Üçgenin Kendisi

c)Üçgenin Dışında Kalan Noktalar Kümesi

Bir Üçgenin Temel Elemanları

1.Üçgenin Kenarları:[BC],[AC],[AB] doğru parçalarına “Üçgenin Kenarları” denir. Kenar uzunlukları karşılarındaki açıların kenarlarıyla adlandırılırlar.

2.Üçgenin İç Açıları:Üçgenin iki kenarının oluşturduğu her bir açı “Üçgenin İç Açısı” olarak adlandırılır. Bir üçgenin iç açıları toplamı 180º`dir.

3.Üçgenin Dış Açıları:Üçgenin iç açılarının komşu bütünleri olan açılara “Üçgenin Dış Açıları” denir. Bir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. Bir üçgenin iç açısıyla dış açısının toplamı 180º`dir. Bir üçgenin dış açıları toplamı ise 360º`dir.

Bir Üçgenin Yardımcı Elemanları

1.Üçgenin Yüksekliği:Üçgenin bir köşesinden karşı tarafa indirilen, köşe ile kenar arasında kalan doğru parçasına “Üçgenin Yüksekliği” denir.”H” ile gösterilir.

2.Üçgenin Kenar Ortayları:Üçgenin bir köşe ile bu köşenin karşısındaki kenarın orta noktasını birleştiren doğru parçasına “Üçgenin Kenar Ortayı” denir. “V” ile gösterilir.

3.Üçgenin Açı Ortayı:Üçgenin açılarını

iki eş açıya bölen doğruların,köşe ile kenar arasında kalan doğru parçasına “ÜÇGENİN AÇI ORTAYI” denir. ” N” ile gösterilir.

Üçgenin Kenarları Arasındaki

Bağıntılar

Bir üçgende iki kenarın uzunlukları toplamı üçüncü kenar uzunluğundan büyük;iki kenar uzunluğunun farkı, üçüncü kenarı uzunluğunda küçüktür.
Üçgenin Açıları Arasındaki Bağıntılar

Bir üçgende, bir köşedeki iç açı ile dış açının toplamı 180º`dir.Bir üçgende, bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

Üçgenin Kenar Uzunluklar ve Açıları

Arasındaki Bağıntılar

Bir üçgende ölçüsü büyük olan kenar karşısında büyük açı, küçük olan kenar karşısında küçük kenar vardır.

Üçgenin Çeşitleri

1.Kenarlarına Göre Üçgenler

a)Çeşit Kenar Üçgen:Üçgenin kenarlarının hepsi farklıysa bu üçgene “Çeşit Kenar Üçgen” denir.

b)İkiz Kenar Üçgen:Üçgenin kenarlarının iki tanesi eşit olan üçgene “İkiz Kenar Üçgen” denir. Bir ikizkenar üçgenin, taban açıların ölçüleri birbirine eşittir.

c)Eşkenar Üçgen:Üçgenin kenarlarının hepsi eşit olan üçgene “Eşkenar Üçgen” denir. Bir eşkenar üçgenin iç açıları 60º `dir.

2.Açılarına Göre Üçgenler

a)Dar Açılı Üçgen:Üçgenin açılarından her birinin ölçüsü 90º`den küçük olan üçgene “Dar Açılı Üçgen” denir.

b)Geniş Açılı Üçgen:Bir açısı geniş açı olan üçgene “Geniş Açılı Üçgen” denir.

c)Dik Açılı Üçgen:Açılarından birisi dik açı olan üçgene “Dik Açılı Üçgen” denir.

Üçgenin Alanını ve Çevresini Bulma

Üçgenin çevresini bulabilmek için kenarlar toplanır.

Ç = a + b + c

Üçgenin alanını bulmak için yükseklikle kenar çarpılır ve ikiye bölünür.

h x a h x b h x c

A= --------- = --------- = --------

2 2 2

ÖZEL ÜÇGENLER

(7; 24; 25) dik üçgeni

(7; 24; 25) dik üçgeni

Dik üçgenlerin dik kenarları 7 ve 24 ile orantılı ise hipotenüs 25 ile orantılıdır.

(45°; 45°; 90°) üçgeni

[b](45°; 45°; 90°) üçgeni Bu üçgen ikizkenar dik üçgendir. Dik kenarlar birbirine eşittir.
Hipotenüsün uzunluğu dik kenarların uzunluğunun2 katıdır.

(30°; 60°; 90°) üçgeni

(30°; 60°; 90°) üçgeni
Eşkenar üçgenin yarısı olan bu üçgende, 30° nin karşısındaki kenarın uzunluğu hipotenüs uzunluğunun yarısı ve 60° nin karşısındaki kenarın uzunluğu 30° nin karşısındaki kenarın uzunluğunun 3 katıdır.

İkizkenar üçgende tepe noktasından çizilen yükseklik hem kenarortay hemde açıortaydır.

ÜÇGENLERDE KENAR - (İÇİ VE UZUNLUK BAĞINTILARI1. Bir üçgenin bir kenarının uzunluğu, diğer iki kenarın toplamından küçük, farklarının mutlak değerinden büyüktür.

3. Bir üçgende büyük açı karşısında, büyük ke-
nar bulunur.

m(A) > m(B) > m(C) ise a > b > c dir.

4. Bir üçgenin yükseklik, açıortay ve kenarortayı arasında h_a < n_A < V_a sıralaması vardır.

5. Bir üçgenin çevresi Ç = a + b + c dir.

_u _ Ç(ABC) 2

u = a + b + c dir. 2

6. Bir ABC de:

h_a + hj-, + h_c < 2u

ⁿA ⁺ ⁿB ⁺ ⁿC * ^^uV_a + V_b + V_c <2u dır.

8. Menelaus Teoremi: D, E, F noktaları doğrusal ise,

9. Seva Teoremi: [AD], [BE] ve [CF] doğru parçalarının kesim noktası K ise;

11. Bir üçgende iki kenarın orta noktaları birleştirildiğinde elde edilen doğru parçası üçüncü kenara paralel ve uzunluğu üçüncü kenarın yarısı kadardır.

Şekilde verilenlere göre x'in en büyük tam sayı değeri kaçtır?

A) 3 B)4 C)6 D) 7 E) 8
Şekilde verilenlere göre oranı kaçtır?
Çözüm:
ABC'de üçgen eşitsizliğinden; 6-5<3x-1 <6 + 5 1 <3x-1 < 11 2<3x<12 -§-<x<4...(1)
ADC'de üçgen eşitsizliğinden; 6-5<3x-2<6 + 5 1 < 3x-2 < 11 3 < 3x < 13
= 1 dir.

Açıortay: Üçgende bir açıyı iki eş parçaya bölen doğru parçasına ‘açıortay’ denir.

Üçgenin içaçıortayları üçgen içinde bir noktada kesişir.Bu noktaya ‘içaçıortayların kesim noktası’ denir. İçaçıortayların kesim noktası aynı zamanda üçgenin içteğet çemberinin merkezidir.

Kenarortay: Üçgenin bir köşesinden karşı kenarın orta noktasına çizilen doğru parçasına ‘kenarortay’ denir.

Üçgenin kenarortayları üçgen içinde bir noktada kesişirler.Bu nokta üçgenin ‘ağırlık merkezidir’. Şekilde G noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezidir.
Yükseklik: Üçgende bir köşeden karşı kenara veya karşı kenarın uzantısına dik olarak çizilen doğru parçasına ‘yükseklik’ denir.

Üçgende yükseklikler; ha, hb , hc ile gösterilir. Yükseklikler; üçgenin içinde, üzerinde veya üçgenin dışında bir noktada kesişirler. Bu noktaya üçgenin
‘diklik merkezi’ denir.

1. Benzer Üçgenler

Karşılıklı açıları eş ve karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenlere benzer üçgenler denir.

ABC ve DEF üçgenleri için;

oranı yazılır

Buradan ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir denir ve ABC ~ DEF biçiminde gösterilir.

eşitliğinde verilen k sayısına, benzerlik oranı yada benzerlik katsayısı denir.

k = 1 olan benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar eşit olduğundan, bu üçgenlere eş üçgenler denir.

ABC ~ DEF benzerliği yazılırken eş açıların sıralanmasına dikkat edilir.

2. Açı - Açı Benzerlik Teoremi

Karşılıklı ikişer açıları eş olan üçgenler benzerdir.

şekilde verilen üçgenlerde

İkişer açıları eş olduğundan, üçüncü açıları da eş olmak zorundadır. Dolayısıyla bu iki üçgen benzer üçgenlerdir.

m(C)=m(F)

3. Kenar - Açı - Kenar Benzerlik Teoremi

İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı orantılı ve bu kenarların oluşturduğu karşılıklı açılar eş ise, üçgenler benzerdir.

ABC üçgeni ile DEF üçgeninin BAC ve EDF açıları eş, bu açıların kenarları da orantılı ise, bu iki üçgen benzerdir.

BAC açısının kısa kenarının EDF açısının kısa kenarına oranı, BAC açısının uzun kenarının EDF açısının uzun kenarına oranına eşittir.

4. Kenar - Kenar - Kenar Benzerlik Teoremi

İki üçgenin karşılıklı bütün kenarları orantılı ise bu iki üçgen benzerdir.

Kenarları orantılı olan ABC ve DEF benzer üçgenlerinde orantılı kenarları gören açılar eştir.

m(A) = m(D),

m(B) = m(E),

m(C) = m(F)

5. Temel Benzerlik Teoremi

ABC üçgeninde [DE] // [BC] ise yöndeş açılar eş

olacağından ADE ~ ABC dir.

Ağırlık merkezinden çizilen paralel doğru kenarları 1birime 2 birim oranında böler. ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ve [KL] // [BC]

|AK|=2|KB|

|AL|=2|LC|

6. Tales Teoremi

Paralel doğrular kendilerini kesen doğruları aynı oranda

bölerler. d1 // d2 // d3 doğruları için

Buradan

de elde edilir

[AB] // [DE] ise oluşan içters açıların eşitliğinden,

ABC ~ EDC olur. Buradan,

eşitliği elde edilir. Buna kelebek benzerliği de denir.

7. Benzerlik Özellikleri

Benzer üçgenlerin açıları karşılıklı olarak eş, diğer bütün elemanları orantılıdır.


ABC ~ DEF Û

Burada k ya benzerlik oranı denir.

a. Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait yüksekliklerin oranı benzerlik oranına eşittir.

b. Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait kenar-ortay uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir.

c. Benzer üçgenlerde eş açılara ait açıortay uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir.

d. Benzer üçgenlerin çevrelerinin oranı benzerlik oranına eşittir.

e. ABC üçgeninde içteğet çemberin yarıçapı r_ABCve çevrel çemberin yarıçapı R_ABC , DEF üçgeninde içteğet çemberin yarıçapı r_DEF ve çevrel çemberin yarıçapı R_DEF olsun.